Funkcje wektorowe Funkcjonały Równania Langrange'a

Funkcjonały zależne od funkcji wektorowej

Niech \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times\mathbb R^{2n}\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Rozważmy funkcjonał

(1)

\( {\cal F}(u) = \displaystyle\int_a^bf\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)dx \)

w zbiorze funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^1([a,b], \mathbb R^n),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc u=(u_1,\ldots ,u_n).\hskip 0.3pc \) Rozwiązania będziemy szukać w zbiorze funkcji dopuszczalnych

(2)

\( {\cal V}=\big\{u\in C^1([a,b],\mathbb R^n)\,:\,u(a)=A,\, u(b)=B\big\}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc A,B\in \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) są dane.

Lemat 1:

Niech \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times\mathbb R^{2n}\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^2.\hskip 0.3pc \) Wówczas funkcjonał \( \hskip 0.3pc{ \cal F}\hskip 0.3pc \) dany wzorem ( 1 ) posiada różniczkę w dowolnym punkcie \( \hskip 0.3pc u\in C^1([a,b],\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) i ponadto

\( d{\cal F}(u)(h)= \displaystyle\int_a^b\sum_{i=1}^n\big(f_{u_i}-\dfrac d{dx}f_{u^\prime_i}\big)h_i dx+\displaystyle \sum_{i=1}^n f_{u^\prime_i}h_i\Big|_a^b, \quad h\in C^1([a,b],\mathbb R^n). \)

Dowód. Oczywiście

\( f(x,u+h,u^\prime+h^\prime)= f(x,u,u^\prime)+\displaystyle\sum_{i=1}^n\big(f_{u_i}(x,u,u^\prime)h_i+f_{u^\prime_i}(x,u,u^\prime)h^\prime_i\big) + o(h,h^\prime) \)

gdzie

\( \displaystyle\lim_{(h,h^\prime)\to (0,0)}\dfrac{o(h,h^\prime)}{\|h\|+\|h^\prime\|}=0. \)

Całkując powyższy wzór w przedziale \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( {\cal F}(u+h)-{\cal F}(u)= \displaystyle\int_a^b\displaystyle\sum _{i=1}^n\big(f_{u_i}h_i +f_{u^\prime_i} h^\prime_i\big)dx+\displaystyle\int_a^b o(h,h^\prime)dx \)

a po przecałkowaniu przez części członu zawierającego wyrażenie \( \hskip 0.3pc \sum_{i=1}^n f_{u^\prime}h^\prime_i\hskip 0.3pc \)

\( {\cal F}(u+h)-{\cal F}(u)= \displaystyle\int_a^b\displaystyle\sum_{i=1}^n\big(f_{u_i}-\dfrac d{dx} f_{u^\prime_i} \big)h_idx +\displaystyle\sum_{i=1}^n\big(h_i f_{u^\prime_i}\big)\Big|_a^b+\displaystyle\int_a^b o(h,h^\prime)dx, \)

skąd teza lematu wynika natychmiast.

Lemat 2:

Niech \( \hskip 0.3pc g:[a,b]\to \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie funkcją ciągłą. Jeśli

\( \displaystyle\int_a^b g\cdot h^\prime dx = \displaystyle\int_a^b \sum_{i=1}^ng_i(x)h^\prime_i(x)dx=0 \)

( " \( \hskip 0.0pc \cdot \hskip 0.0pc \)" oznacza iloczyn skalarny) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc h\in C^1([a,b],\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) spełniającego warunek \( \hskip 0.3pc h(a)=h(b)=0\hskip 0.3pc \), to \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją stałą.

Dowód. Dla \( \hskip 0.3pc i=1,\cdots ,n\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( c_i=\dfrac 1{b-a}\displaystyle\int_a^bg_i(x)dx, \qquad h_i(x)=\displaystyle\int_a^x\big(g_i(s)-c_i\big)ds. \)

Oczywiście \( \hskip 0.3pc h_i\in C^1([a,b],\mathbb R),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc h_i(a)=h_i(b)=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc h^\prime_i=g_i-c_i.\hskip 0.3pc \) Powtarzając dowód lematu 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 mamy

\( 0= \displaystyle\int_a^b \displaystyle\sum_{i=1}^n g_i(x)\big(g_i(x)-c_i\big)dx =\displaystyle\int_ a^b \displaystyle \sum_{i=1}^n(g_i(x)-c_i)^2dx, \)

skąd wynika natychmiast, że \( \hskip 0.3pc g_i(x)=c_i\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc i=1, \cdots ,n,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x\in [a,b].\hskip 0.3pc \) i kończy to dowód lematu.

Korzystając z lematu 1 i powtarzając argumenty dowodu twierdzenia 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 otrzymamy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc f\in C^1\big([a,b]\times \mathbb R^{2n}\big).\hskip 0.3pc \) Niech funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) będzie dany wzorem ( 1 ), a przestrzeń \( \hskip 0.3pc \cal V\hskip 0.3pc \) wzorem ( 2 ). Załóżmy ponadto, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_{u^\prime_1}(\cdot, u(\cdot ), u^\prime(\cdot )),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \ldots ,\,f_{u^\prime_n}(\cdot, u(\cdot ), u^\prime(\cdot ))\hskip 0.3pc \) są róźniczkowalne dla dowolnego \( \hskip 0.3pc u \in {\cal V}.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wówczas \( \hskip 0.3pc \widetilde u\in {\cal V}\hskip 0.3pc \) jest ekstremalą funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy gdy spełnia ona układ równań Eulera-Lagrange'a:

\( \begin{cases}\dfrac d{dx} f_{u^\prime_1}(x,\widetilde u_1,\dots ,\widetilde u_n,\widetilde u^\prime_1,\ldots , \widetilde u_n^\prime) - f_{u_1}(x, \widetilde u_1,\dots ,\widetilde u_n,\widetilde u^\prime_1,\ldots , \widetilde u_n^\prime)=0,\\ \hskip 0.5pc \vdots \\\dfrac d{dx} f_{u^\prime_n}(x, \widetilde u_1,\dots ,\widetilde u_n,\widetilde u^\prime_1,\ldots , \widetilde u_n^\prime)-f_{u_n}(x,\widetilde u_1,\dots ,\widetilde u_n,\widetilde u^\prime_1,\ldots , \widetilde u_n^\prime)=0,\end{cases} \)

dla \( \hskip 0.3pc x\in [a,b]\hskip 0.3pc \).

Przykład 1:

Niech \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) będzie powierzchnią walcową daną wzorem \( \hskip 0.3pc r(u,v)=(R\cos u, R\sin u,v),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc 0\leq u \leq 2\pi,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc a\leq v \leq b.\hskip 0.3pc \) Znaleźć krzywą geodezyjną lączącą punty \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) leżące na \( \hskip 0.3pc S.\hskip 0.3pc \)

Zgodnie z wzorem (5) w module Wprowadzenie do rachunku wariacyjnego-( 5 ), ponieważ w naszym przypadku \( \hskip 0.3pc E=R^2,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc F=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc G=1,\hskip 0.3pc \) należy wyznaczyć minimum funkcjonału

\( \displaystyle\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{R^2(u^\prime)^2+(v^\prime)^2}\,dt. \)

Na mocy twierdzenia 1 równania Eulera-Lagrange'a mają postać

\( \dfrac d{dt}\dfrac {R^2u^\prime}{\sqrt{R^2(u^\prime)^2+(v^\prime)^2}}=0,\qquad\dfrac d{dt} \dfrac{v^\prime}{\sqrt{R^2(u^\prime)^2+(v^\prime)^2}}=0, \)

czyli

\( \dfrac{R^2u^\prime}{\sqrt{R^2(u^\prime)^2+(v^\prime)^2}}=C_1,\qquad \dfrac{v^\prime}{\sqrt{R^2(u^\prime)^2+(v^\prime)^2}}=C_2. \)

Stąd dostajemy równanie

\( \dfrac{v^\prime}{u^\prime}=C\qquad (C=R^2C_2/C_1), \)

którego całka ogólna ma postać

\( v=Cu+C_0. \)

Wykorzystując ostatnią zależność oraz fakt, że szukana krzywa leży na powierzchni \( \hskip 0.3pc S\hskip 0.3pc \) oraz przechodzi przez punkty \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) możemy wyznaczyć jej równanie np. w formie parametrycznej \( \hskip 0.3pc x=R\cos u(v),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=R\sin u(v),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z=v.\hskip 0.3pc \) Nietrudno sprawdzić, że na tak określonej ekstremali funkcjonał osiąga wartość minimalną.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka